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Q135




正解:1・5・2・10・3 です。

     リング状になっていますので、
     10・2・5・1・3
     などの並びでも一向に構いません。

 
正解を判断する為のポイントは、

: 1・2・3・5・10が使われている。

: リング状に並べてみて、1を基準に考えて同じ方向に、
   1から一つ飛んで、2。 2から一つ飛んで、3。
   3から一つ飛んで、5。 5から一つ飛んで、10。
   当然、右回りでも左回りでも同じです。

   これ以外の正解はないでしょう。
   そして、時間をかければ誰でも解けると思います。
   数学的な解答を期待しております。



■ タイルコさんからの情報        June 18, 2001

指摘程度で終わってしまうんすが、Q135

>この問題、私は適当に数字を当てはめて解きました。
>解法を解説できる方がいらっしゃったら、ぜひともご教授を
>頂きたいと思っています。どうぞよろしくお願いいたします

という出題者の方へ朗報です。

http://www.cac-net.ne.jp/~toku/
に同じ問題&発展問題&解説が全て載っています。
頑張って解いて見てください!!けっこーすぐ見れるはず。

浪人の時に解いた問題が最近Udaさんのトコによく届いてます。
Q135もそうだし、電球の問題もYRさんトコにありました。
やはりいい問題なんですね、、機会があったら自分のトコでも
採り上げたいです。ではでは

  http://www.geocities.co.jp/Bookend-Soseki/3472/


           【正解者】

1.ゆー June 24, 2001
論理的な解答で解いてみましょう。

例えば、5個の数字のポジションを
A-B-C-D-E(-A-B-・・・)
としてみます。
  A
B   E   ← こんなカンジ
 C D

まず、5個の数字から1個選ぶ選び方は5通り。
2個選ぶ選び方は A-B、B-C、C-D、D-E、E-Aの5通り。
同様に3個選ぶ選び方も4個選ぶ選び方も5通り。
5個選ぶのだけは一通りしかありません。

以上の選び方の合計は
5+5+5+5+1
で計21通りです。

この21通りの選び方で1から21までの数字を作りたいので、
次の定理がいえま
す。
[定理1]5個どの数字も違う
[定理2]数珠つなぎで選ばれた数字は、選び方が違うのならその合計は違う
[定理3]5個の数字の合計は21である

さて、まずどう考えても5個の数字のうち「1」が必要なのは自明です。
また、「2」が必要なのも自明です。

さて、次の問題はその「2」が「1」と隣り合うかどうかです。

「1」のポジションはAで固定して考えます。
  1
B   E
 C D

「2」が「1」と隣あっていると仮定します。「2」のポジションをBとして話を進
めます。
対照性から「2」がEのポジションの時と話は同じになります。
  1
2   E
 C D

「1」+「2」で3は得られますので、CDEの中で「3」は置けません(定理2より)。

4を作ることは不可能なので、「4」は必要となります。

CASE1:4がCの時
  1
2   E
 4 D
5を得る事ができないので、DまたはEが5となります。「2」+「4」で6を得る
ことが
できるので、必然的に「5」はDのポジションとなるしかありません。
(E=5だと、A+E=6、B+C=2+4=6で、[定理2]に反するから)
さらに、[定理3]より、残りの1個は
21-(1+2+4+5)=9
となります。
  1
2   9
 4 5
しかしこれだと「4」+「5」で9が得られ、またEのポジションである「9」を選
んだ時にも9が得られ、[定理2]に反します。よってCASE1はあり得ません。

CASE2:4がDの時。
  1
2   E
 C 4

やはり5が必要です。また、残りの1個は[定理3]より9となるしかありません。
C=5とすると、E=9となり、C+D=5+4=9、E=9で[定理2]に反しま
す。E=5の時も同様です。よってCASE2もダメ。

CASE3:4がEの時。
  1
2   4
 C D

「1」+「4」で5は得られます。6を得る事が出来ないので、CかDに6が入り、
[定理3]より、最後の一つは
21-(1+2+4+6)=8
です。

もしD=6だと、C=8になり、B+C=2+8=10、D+E=4+6=10で
[定理2]に反するし、C=6、D=8だとB+C=2+6=8、D=8で、
やはりこれも[定理2]に反してしまい不適です。

以上より「1」と「2」が隣り合うケースは全て不都合となりました。
∴「1」と「2」は隣り合わない。
  1
B   E
 2 D

対照性からC=2とおいてよい。

さて、この時点でまだ3を作ることができないので、
残りの3つのうちどれかは「3」です。

CASE1:B=3の時。
  1
3   E
 2 D

この時点で4(1+3)、5(3+2)、6(1+3+2)を得ることができます。
DかEのどちらかはまだ得られない数字「7」になり、残りの1個は
21-(1+2+3+7)=8
となります。E=7だと、D=8となり、A+E=1+7=8、D=8となり
[定理2]に反します。またD=7だと、E=8となり、
A+E=1+8=9 、 C+D=2+7=9 となりやはり不適となります。
よってCASE1はありえません。

CASE2:D=3の時
  1
B   E
 2 3
このとき、4が得られないので、残りの2個のうち1個は4です。
Bが4でもEが4でも、Aと隣り合っているので
A+B(あるいはA+E)=1+4=5
C+D=2+3=5
で、これは[定理2]に反し、不適となります。CASE2もありえません。

CASE3:E=3の時(実はこの時にできる)
  1
B   3
 2 D
「1」+「3」=4は得られますので、必要なのは「5」です。
そして最後の1個は
21-(1+2+3+5)=10
です。
D=5だとB=10となり、C+D+E=2+5+3=10、B=10で、
[定理2]に反します。

B=5、D=10とします。
  1
5   3
 2 10

よく見れば
A=1、C=2、E=3、E+A=4、B=5、A+B=6、B+C=7、
A+B+C=8、E+A+B=9、D=10、E+A+B+C=11、
C+D=12、D+E=13、D+E+A=14、C+D+E=15、
C+D+E+A=16、B+C+D=17、A+B+C+D=18、
D+E+A+B=19、B+C+D+E=20、A+B+C+D+E=21
と、1から21、全ての数を得ることができますね。

以上です。




2.ぴゅあ@Fさん July 20, 2001

まず、玉を取る事のできる組み合わせが何通りあるか考えてみます。
仮に5つの玉をa、b、c、d、eとすると、

・1つとる場合(a、b、c、d、e) ---5通り
・2つとる場合(a+b、b+c、c+d、d+e、e+a) ---5通り
・3つとる場合(a+b+c、b+c+d、c+d+e、d+e+a、e+a+b) ---5通り
・4つとる場合(a+b+c+d、b+c+d+e、c+d+e+a、d+e+a+b、e+a+b+c) ---5通り
・全てとる場合(a+b+c+d+e) ---1通り

組み合わせは、上記の21通りしかありません。

ここからわかることは、
・a+b+c+d+e=21、つまり5つの数の合計は21。
・上記の組み合わせの答えは、全て違う数字になる
(たとえばa+bとc+dが同じ数字になってはいけない)。

その他の条件として、
・1、2は必ず入る。
・のこり3個の数字のうち、3もしくは4が必ず入る
(4を作る組み合わせは、4または1+3しかないため)。

上記の条件を満たす組み合わせは、次の6とおりです。
(1)1、2、3、4、11
(2)1、2、3、5、10
(3)1、2、3、6、9
(4)1、2、3、7、8
(5)1、2、4、5、9
(6)1、2、4、6、8

ひとつづつ検証してみます。
(1)の場合、1の隣に2が入ると1+2=3、3が入ると1+3=4になり、
21通り作れなくなるので、必然的に1の両隣は4と11になりますが、
その場合2と3が隣り合ってしまうため、1+4=2+3となり、これも21通り作れなくなる
ので間違いと分かります。
同様に、(4)は1+2=3、1+7=8なので1の両隣りは3と8になりますが、1+8=2+7になるの
でダメ。
(5)は4を基準にして考えると、4+1=5、4+5=9なので4の両隣りは必然的に2と9になり
ますが、4+2=1+5になるのでダメ。
(6)は2を基準にして考えると、2+4=6、2+6=8なので2の両隣りは必然的に1と8になり
ますが、2+8=4+6になるのでダメ。
(3)は、足して4になる組み合わせが1+3、5になる組み合わせが2+3しかないため、
必然的に2、3、1(または1、3、2)という並び順になりますが、2+3+1=6になるので
ダメ。

というわけで、組み合わせは1、2、3、5、10だということがわかります。

では実際に並べてみましょう。

  a
e   b
 d c

まず仮にaを1とします。
4を作る組み合わせが1+3しかないので、1の隣には必ず3が入ります。仮にbを3としま
す。
eを2とすると、2と1が隣り合ってしまい、2+1=3になるのでダメ。
cを2とすると、2と3が隣り合ってしまい、2+3=5になるのでダメ。
よってdに2が入ります。
eに入る数字ですが、6を作る組み合わせは1+2+3、1+5の2通りしかありませんが、
1、2、3は上記の理由で並べて置けないため、必然的に1と5は隣どうしになり、eに6
が入ります。

というわけで、正解は
1→3→10→2→5(または1→5→2→10→3)
となります。



3.すぬっぴさん July 25, 200

1つのみの数字:5個
隣り合う2つの数字の和:5個
隣り合う3つの数字の和:5個
隣り合う4つの数字の和:5個
隣り合う5つの数字の和:1個
となることから、全部で数字が21個必要であることが分かります。
すなわち、どの数字も、他の1~5個の隣り合った数字を足したものと等しくはなら
ないということがわかります。
また隣り合う5個の数字を足すと一番大きくなる事から5個の数字の和は21とな
る。

次に具体的な数字を見ていきます。
(円形を表す記号を(1,2,3,4,5)のように表します。この場合1と5は隣り合ってい
ます。)
まず1は1を表すのに必要となります。また、2も2を表すのに必要です。
すなわち残りの3つを考えていきます。

①1と2が隣り合わせにない場合:3を表すために3が必要です。
 可能性があるのは、(1,3,2,X,X)または(1,X,2,3,X)または(1,X,2,X,3)
 ((1,X,X,2,X)は裏返すと同じになることから省略。)
 (i)(1,3,2,X,X)の場合、1~6まで表せるので次の7が必要。
  全部足して21より残りは8。
  (1,3,2,7,8):1+8=2+7よりNG
  (1,3,2,8,7):8=7+1よりNG
  (ii)(1,X,2,3,X)の場合、4が必要。21から引くと残りは11。
   (1,4,2,3,11):1+4=2+3よりNG
   (1,11,2,3,4):1+4=2+3よりNG
  (iii)(1,X,2,X,3)の場合、5が必要。21から引くと残りは10。
    (1,5,2,10,3):OK!!
    (1,10,2,5,3):10=2+5+3よりNG
②1と2が隣り合わせになっている場合:4が必要。
 可能性があるのは、(1,2,4,X,X)または(1,2,X,4,X)または(1,2,X,X,4)
 (i)(1,2,4,X,X)の場合、5が必要。21から引くと残りは9。
   (1,2,4,5,9):4+5=9よりNG
   (1,2,4,9,5):1+5=2+4よりNG
  (ii)(1,2,X,4,X)の場合、5が必要。21から引くと残りは9。
   (1,2,5,4,9):5+4=9よりNG
   (1,2,9,4,5):9=4+5よりNG
  (iii)(1,2,X,X,4)の場合、6が必要。21から引くと残りは8。
    (1,2,6,8,4):2+6=8よりNG
    (1,2,8,6,4):2+8=6+4よりNG
従って、題意を満たす数字は(1,5,2,10,3)ただ一つとわかる。

また別解として先に数字を求める方法もあります。
数字を5個全部足して21なので、それを満たす数字を考える。
まず上と同じで1と2は必要なので、それ以外を考える。
1,2,3,4,11
1,2,3,5,10
1,2,3,6,9
1,2,3,7,8
1,2,4,5,9
1,2,4,6,8
1,2,5,6,7
の7通り。これらを上と同じように円形で考えていく。

追記:
数字5個だけじゃなく1個からいろいろ考えてみました。
使う数字:表せる数字:円形のパターン
1個:1:もちろん1のみ。(^^;;
2個:1~3:(1,2)
3個:1~7:(1,2,4)
4個:1~13:(1,2,6,4),(1,3,2,7)
5個:1~21:(1,5,2,10,3)
6個:1~31:
(1,7,3,2,4,14),(1,3,6,2,5,14),(1,3,2,7,8,10),(1,2,5,4,6,13),(1,2,7,4,12,5)
n個:1~n(n-1)+1
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