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正解者の解説を参照してください。
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 【正解者】
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１．Ａｏｋｉ さん |
Feb 25, 2001 |
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「私の考えた道筋はこんな感じです。
赤い帽子が一つだけのときは日を追うごとに帽子の数が以下の
ような経過になります。
1=> 0
二人のときは
2=> 2=> 0
という経過をたどります。
ここまでは回答にあったとおり。
３人目の赤帽の妖精は、自分以外に二人の赤い帽子が見えます。
自分が青ならば上のように
2=> 2=> 0
という経過をたどるはずが、自分も赤い場合は上のようにはなりません。
2=> 2=> 2
と見えます。
つまり、３日目になっても赤が0にならないならば自分も赤いことが判明
します。他の赤い帽子の妖精もまったく同じことを考えるので、３日目に
全員自分が赤いと知って、４日目には消えて
(客観的に見ると)
3=> 3=> 3 =>0
となります。
自分が妖精になったとして、自分以外にN-1人の赤い帽子が見えたとし
ます。
N日目に赤い帽子が全員消えたら、自分は赤くない
(他の赤い帽子の妖
精からは N-2 人の赤い帽子が見えた) ということになります。
N 日目に赤い帽子が全部消えなかったら、自分も赤い
(他の赤い帽子の
妖精からも N-1人の赤い帽子が見えた) ということになります。
そして N+1 日目に自分を含めた赤い帽子が全員消えます。
赤い帽子が200人なら、赤い帽子の妖精からは199の赤い帽子が見えて、
200日目になっても赤が消えないので自分も赤いのだと知って、201日めに
消えます。
ただし、妖精は自分以外の赤い帽子の妖精の数を正確に数えることがで
きる、という仮定が必要かもしれません。
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２．Ｙａｓｕｍｏｔｏさん |
May 15, 2001 |
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Ｑ１２６ですが，正解がわかりました．
２００人では，数が大きいので
（１）仮に赤い帽子が１人（仮称Ａ），青い帽子が３９９人の条件で
考えてみましょう．当然ですが，他の３９９人は青なのですから
Ａは自分が唯一の赤であると認識し，翌日には祭りに参加できない．
つまり，正解は２日となります．（但し，一人の時は条件として，
「この小人の国にいる，小人達は，赤の帽子と青の帽子を
被った二種類が必ずいることを知っている（つまり，すべて
青帽子といことはありえない）」を付与する必要があります．
さもないと，赤い帽子を被った一人は，自分も含め４００人が
すべて青と認識し，いつまでも祭りに参加し続ける可能性が
あります）
（２）次に赤い帽子が２人（仮称Ａ，Ｂ），青い帽子が３９８人の条件で
考えてみましょう．当然ですが，Ａは，Ｂが赤い帽子を被っているのを
目視していますから，Ｂが上記（１）の思考を持ち，翌日からは
祭りに参加しないであろうと推測します．当然ＢもＡに対して
同様の考えを持ちます．ところが，自分は「赤ではないだろう」と
信じている，ＡもＢも翌日祭りに顔を出します．双方は顔を合わせたとき
「なぜ，今日もこいつはここに来ているんだ？待てよ，こいつは
赤色の帽子を被っている他の奴を目にしているんだ．それって
俺しかいないよな！」と，なり，お互いに３日目に姿を消します．
同様に人数を増やしていっても，同じ考えが順次成り立ち，
質問の答えは２００＋１＝２０１日目の祭りには，赤帽子は
一斉に姿を消すことになります．
これで，どうでしょうか？
確かに，数学的帰納法を理解できていない人には
困難かもしれません．
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３．atopicoｉさん |
May 30, 2001 |
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この問題としては、赤い帽子のこびとと青い帽子のこびとが最低１人
以上はいるという条件が必要ですね。
この条件の下で、例えば
１）赤い帽子のこびとが１人の場合
その他全員が青い帽子のこびとだったとすると、
たった１人の赤いこびとは自分以外が全員青いぼうしなので、自分は赤い
帽子であることが分かりますよね。
だから、１日目に自分が赤い帽子をかぶっていることが分かり、２日目から
はでてきません。
２）赤い帽子のこびとが２人の場合
赤い帽子をかぶっているこびとAに見えるのは、赤い帽子をかぶっている
こびとBが１人とその他の青い帽子のこびと。
もし自分が青い帽子をかぶっているならば、赤い帽子をかぶっているこびと
Bは、１）の場合と同じ推論をして、２日目には出てこなくなる。
よって、こびとBが２日目にでてくるか、来ないかで、自分が赤い帽子か青い
帽子かが分かります。
もう１人のこびとが、２日目にもでてきた時点で自分が赤い帽子をかぶって
いることが分かり、３日目から出てこなくなる。
これはこびとBの側から考えても同じ。
赤い帽子をかぶっているこびとが２人いる場合は３日目から２人とも出てこ
なくなる。
３）赤い帽子のこびとが３人の場合
赤い帽子をかぶっているこびとAに見えるのは、赤い帽子をかぶっている
こびとB、Cとその他の青い帽子。
Aからすれば、自分が青い帽子をかぶっているならば状況は、２）の場合と
同じなので、その場合２日目に自分が見ている赤い帽子をかぶった２人の
こびとは出てこなくなる。
ところが、自分も赤い帽子をかぶっているならば、３日目も赤い帽子の２人
はでてくる。３日目に２人のこびとが出てきた時点で、自分が赤い帽子をか
ぶっていることが分かります。
これはこびとB、Cの立場から考えても、同様。
よって、４日目から全員出てこなくなる。
どうようなことが、赤い帽子をかぶったこびとが４人、５人、６人とふえていっ
ても言えて、例えばその場合、
５日目、６日目、７日目から全員がそろって、会場から姿を消すことになります。
人数が増えていっても、一般に自分以外に赤色の帽子をかぶったこびとが
ｎ人いて、（ｎ＋１）日目にもｎ人のこびとがまだ会場に姿を現している場合、
自分自身も赤色の帽子をかぶっていることが同様に推論されます。
その結果、ｎ人のこびとがいる場合（ｎ＋１）日目に全員がそろって会場から
姿を消すことになります。
だからこの問題の場合、
２０１日目に全ての赤色の帽子をかぶったこびとが同時にいなくなります。 |
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